추론통계 · 추정과 가설검정

추론통계의 두 갈래

표본으로 모집단의 모수를 알아내는 방법은 둘입니다.

구분	내용
추정(Estimation)	모수의 값을 짐작함 — 점추정과 구간추정
가설검정(Hypothesis Testing)	모수에 대한 주장이 맞는지 표본으로 판정함

점추정

모수를 하나의 값으로 추정합니다(표본평균으로 모평균을, 표본비율로 모비율을).

좋은 추정량이 갖춰야 할 성질은 넷입니다.

성질	의미
불편성 (Unbiasedness)	추정량의 기댓값이 모수와 같음 — 치우치지 않음
효율성 (Efficiency)	추정량의 분산이 작음 — 같은 불편추정량 중 분산이 최소인 것이 좋음
일치성 (Consistency)	표본 크기가 커질수록 모수에 수렴함
충분성 (Sufficiency)	모수에 대한 표본의 정보를 빠뜨리지 않고 담고 있음

구간추정과 신뢰구간

모수가 들어 있을 만한 구간을 신뢰수준과 함께 제시합니다.

• 모분산을 알 때: 표본평균 ± Z × (시그마 ÷ 루트 n)
• 모분산을 모를 때: 표본평균 ± t × (s ÷ 루트 n), 자유도 n − 1

신뢰수준	유의수준	양측 임계값 Z
90%	0.10	1.645
95%	0.05	1.96
99%	0.01	2.576

계산 예제

표본평균 50, 모표준편차 10, 표본 크기 100인 자료의 95% 신뢰구간은

1. 표준오차 = 10 ÷ 루트100 = 10 ÷ 10 = 1
2. 오차한계 = 1.96 × 1 = 1.96
3. 신뢰구간 = 50 ± 1.96 = [48.04, 51.96]

구간의 폭은 신뢰수준이 높아지면 넓어지고, 표본 크기가 커지면 좁아집니다. 99% 구간이 95% 구간보다 항상 넓습니다.

"95% 신뢰구간은 모평균이 이 구간에 있을 확률이 95%다"는 흔한 오답입니다. 모평균은 고정된 상수이고, 같은 방식으로 표본을 반복 추출하면 만들어진 구간들 중 95%가 모평균을 포함한다는 뜻입니다.

유의수준과 신뢰수준을 섞어 묻습니다. 유의수준 α = 1 − 신뢰수준입니다. 신뢰수준 95%면 유의수준은 0.05입니다.

가설 설정

가설	내용
귀무가설 H0 (영가설)	기존에 알려진 사실, "차이가 없다·효과가 없다" — 등호(=)를 포함
대립가설 H1 (연구가설)	연구자가 입증하려는 주장, "차이가 있다" — 등호 없음

검정은 항상 귀무가설을 기준으로 진행합니다. 증거가 충분하면 H0을 기각하고, 부족하면 기각하지 못합니다(채택한다기보다 "기각할 근거가 없다").

• 양측검정: H1이 "다르다" — 기각역이 양쪽에 α/2씩
• 단측검정: H1이 "크다" 또는 "작다" — 기각역이 한쪽에 α 전부

가설검정 절차

1. 귀무가설·대립가설 설정
2. 유의수준 결정 (보통 0.05)
3. 검정통계량 계산 (Z, t, 카이제곱, F 중 상황에 맞는 것)
4. 기각역 또는 p-value와 비교
5. 결론 도출 — 실질적 의미까지 해석

p-value

귀무가설이 참이라고 가정할 때, 관측된 결과보다 더 극단적인 값이 나올 확률입니다.

조건	판정
p-value ≤ 유의수준 α	귀무가설 기각 (통계적으로 유의함)
p-value > 유의수준 α	귀무가설을 기각하지 못함

p-value는 "귀무가설이 참일 확률"이 아닙니다. 또 p-value가 작다고 효과의 크기가 크다는 뜻도 아닙니다 — 표본이 아주 크면 사소한 차이도 유의해집니다. 그래서 유의확률과 함께 효과크기를 봅니다.

1종 오류와 2종 오류

	H0이 참	H0이 거짓
H0 기각	제1종 오류 (α)	옳은 판단 — 검정력 1 − β
H0 기각 못 함	옳은 판단 (1 − α)	제2종 오류 (β)

오류	정의	다른 이름
제1종 오류	참인 귀무가설을 기각함	위양성(False Positive), 생산자 위험
제2종 오류	거짓인 귀무가설을 기각하지 못함	위음성(False Negative), 소비자 위험

판정 연습

신약의 효과를 검정합니다. H0 = "효과가 없다".

• 실제로는 효과가 없는데 "효과가 있다"고 결론 → 제1종 오류
• 실제로는 효과가 있는데 "효과가 없다"고 결론 → 제2종 오류

검정력(Power) = 1 − β는 거짓인 귀무가설을 옳게 기각할 확률입니다.

표본 크기를 고정한 채 유의수준 α를 낮추면 β는 커지고 검정력은 떨어집니다(트레이드오프). 둘을 동시에 줄이는 유일한 방법은 표본 크기를 늘리는 것입니다. "α를 줄이면 β도 줄어든다"는 오답입니다.

1종·2종을 뒤집어 놓는 문제가 가장 많습니다. 1종 = 없는 것을 있다고 함(α), 2종 = 있는 것을 없다고 함(β) 으로 고정해서 외웁니다.

모수 검정과 비모수 검정

구분	모수 검정	비모수 검정
전제	모집단 분포(정규성)를 가정	분포 가정 불필요
자료	등간·비율척도	명목·순서척도도 가능
사용 값	관측값 자체	순위·부호·빈도
표본 크기	충분히 커야 함	작아도 가능
검정력	가정이 맞으면 더 높음	상대적으로 낮음

상황	모수 검정	대응하는 비모수 검정
한 집단의 중심	일표본 t-검정	부호검정, 윌콕슨 부호순위검정
두 독립 집단 비교	독립표본 t-검정	윌콕슨 순위합검정 / 만-위트니 U 검정
대응(짝지은) 두 집단	대응표본 t-검정	윌콕슨 부호순위검정
세 집단 이상 비교	분산분석(F 검정)	크루스칼-왈리스 H 검정
상관관계	피어슨 상관분석	스피어만·켄달 순위상관
무작위성·분포 적합도	—	런(Run) 검정, 카이제곱 적합도·독립성 검정, 콜모고로프-스미르노프 검정

"정규성 가정을 만족하지 않는다", "표본이 매우 작다", "순위 자료다"라는 단서가 나오면 답은 비모수 검정입니다. 반대로 Z-검정·t-검정·F 검정(분산분석)은 모수 검정이라는 점을 확실히 해 둡니다.