추론통계 · 추정과 가설검정
점추정과 구간추정(신뢰구간), 가설검정 절차와 1종·2종 오류, 검정력과 p-value, 모수·비모수 검정의 구분을 다룹니다.
추론통계의 두 갈래
표본으로 모집단의 모수를 알아내는 방법은 둘입니다.
| 구분 | 내용 |
|---|---|
| 추정(Estimation) | 모수의 값을 짐작함 — 점추정과 구간추정 |
| 가설검정(Hypothesis Testing) | 모수에 대한 주장이 맞는지 표본으로 판정함 |
점추정
모수를 하나의 값으로 추정합니다(표본평균으로 모평균을, 표본비율로 모비율을).
좋은 추정량이 갖춰야 할 성질은 넷입니다.
| 성질 | 의미 |
|---|---|
| 불편성 (Unbiasedness) | 추정량의 기댓값이 모수와 같음 — 치우치지 않음 |
| 효율성 (Efficiency) | 추정량의 분산이 작음 — 같은 불편추정량 중 분산이 최소인 것이 좋음 |
| 일치성 (Consistency) | 표본 크기가 커질수록 모수에 수렴함 |
| 충분성 (Sufficiency) | 모수에 대한 표본의 정보를 빠뜨리지 않고 담고 있음 |
구간추정과 신뢰구간
모수가 들어 있을 만한 구간을 신뢰수준과 함께 제시합니다.
- 모분산을 알 때: 표본평균 ± Z × (시그마 ÷ 루트 n)
- 모분산을 모를 때: 표본평균 ± t × (s ÷ 루트 n), 자유도 n − 1
| 신뢰수준 | 유의수준 | 양측 임계값 Z |
|---|---|---|
| 90% | 0.10 | 1.645 |
| 95% | 0.05 | 1.96 |
| 99% | 0.01 | 2.576 |
계산 예제
표본평균 50, 모표준편차 10, 표본 크기 100인 자료의 95% 신뢰구간은
- 표준오차 = 10 ÷ 루트100 = 10 ÷ 10 = 1
- 오차한계 = 1.96 × 1 = 1.96
- 신뢰구간 = 50 ± 1.96 = [48.04, 51.96]
구간의 폭은 신뢰수준이 높아지면 넓어지고, 표본 크기가 커지면 좁아집니다. 99% 구간이 95% 구간보다 항상 넓습니다.
"95% 신뢰구간은 모평균이 이 구간에 있을 확률이 95%다"는 흔한 오답입니다. 모평균은 고정된 상수이고, 같은 방식으로 표본을 반복 추출하면 만들어진 구간들 중 95%가 모평균을 포함한다는 뜻입니다.
유의수준과 신뢰수준을 섞어 묻습니다. 유의수준 α = 1 − 신뢰수준입니다. 신뢰수준 95%면 유의수준은 0.05입니다.
가설 설정
| 가설 | 내용 |
|---|---|
| 귀무가설 H0 (영가설) | 기존에 알려진 사실, "차이가 없다·효과가 없다" — 등호(=)를 포함 |
| 대립가설 H1 (연구가설) | 연구자가 입증하려는 주장, "차이가 있다" — 등호 없음 |
검정은 항상 귀무가설을 기준으로 진행합니다. 증거가 충분하면 H0을 기각하고, 부족하면 기각하지 못합니다(채택한다기보다 "기각할 근거가 없다").
- 양측검정: H1이 "다르다" — 기각역이 양쪽에 α/2씩
- 단측검정: H1이 "크다" 또는 "작다" — 기각역이 한쪽에 α 전부
가설검정 절차
- 귀무가설·대립가설 설정
- 유의수준 결정 (보통 0.05)
- 검정통계량 계산 (Z, t, 카이제곱, F 중 상황에 맞는 것)
- 기각역 또는 p-value와 비교
- 결론 도출 — 실질적 의미까지 해석
p-value
귀무가설이 참이라고 가정할 때, 관측된 결과보다 더 극단적인 값이 나올 확률입니다.
| 조건 | 판정 |
|---|---|
| p-value ≤ 유의수준 α | 귀무가설 기각 (통계적으로 유의함) |
| p-value > 유의수준 α | 귀무가설을 기각하지 못함 |
p-value는 "귀무가설이 참일 확률"이 아닙니다. 또 p-value가 작다고 효과의 크기가 크다는 뜻도 아닙니다 — 표본이 아주 크면 사소한 차이도 유의해집니다. 그래서 유의확률과 함께 효과크기를 봅니다.
1종 오류와 2종 오류
| H0이 참 | H0이 거짓 | |
|---|---|---|
| H0 기각 | 제1종 오류 (α) | 옳은 판단 — 검정력 1 − β |
| H0 기각 못 함 | 옳은 판단 (1 − α) | 제2종 오류 (β) |
| 오류 | 정의 | 다른 이름 |
|---|---|---|
| 제1종 오류 | 참인 귀무가설을 기각함 | 위양성(False Positive), 생산자 위험 |
| 제2종 오류 | 거짓인 귀무가설을 기각하지 못함 | 위음성(False Negative), 소비자 위험 |
판정 연습
신약의 효과를 검정합니다. H0 = "효과가 없다".
- 실제로는 효과가 없는데 "효과가 있다"고 결론 → 제1종 오류
- 실제로는 효과가 있는데 "효과가 없다"고 결론 → 제2종 오류
검정력(Power) = 1 − β는 거짓인 귀무가설을 옳게 기각할 확률입니다.
표본 크기를 고정한 채 유의수준 α를 낮추면 β는 커지고 검정력은 떨어집니다(트레이드오프). 둘을 동시에 줄이는 유일한 방법은 표본 크기를 늘리는 것입니다. "α를 줄이면 β도 줄어든다"는 오답입니다.
1종·2종을 뒤집어 놓는 문제가 가장 많습니다. 1종 = 없는 것을 있다고 함(α), 2종 = 있는 것을 없다고 함(β) 으로 고정해서 외웁니다.
모수 검정과 비모수 검정
| 구분 | 모수 검정 | 비모수 검정 |
|---|---|---|
| 전제 | 모집단 분포(정규성)를 가정 | 분포 가정 불필요 |
| 자료 | 등간·비율척도 | 명목·순서척도도 가능 |
| 사용 값 | 관측값 자체 | 순위·부호·빈도 |
| 표본 크기 | 충분히 커야 함 | 작아도 가능 |
| 검정력 | 가정이 맞으면 더 높음 | 상대적으로 낮음 |
| 상황 | 모수 검정 | 대응하는 비모수 검정 |
|---|---|---|
| 한 집단의 중심 | 일표본 t-검정 | 부호검정, 윌콕슨 부호순위검정 |
| 두 독립 집단 비교 | 독립표본 t-검정 | 윌콕슨 순위합검정 / 만-위트니 U 검정 |
| 대응(짝지은) 두 집단 | 대응표본 t-검정 | 윌콕슨 부호순위검정 |
| 세 집단 이상 비교 | 분산분석(F 검정) | 크루스칼-왈리스 H 검정 |
| 상관관계 | 피어슨 상관분석 | 스피어만·켄달 순위상관 |
| 무작위성·분포 적합도 | — | 런(Run) 검정, 카이제곱 적합도·독립성 검정, 콜모고로프-스미르노프 검정 |
"정규성 가정을 만족하지 않는다", "표본이 매우 작다", "순위 자료다"라는 단서가 나오면 답은 비모수 검정입니다. 반대로 Z-검정·t-검정·F 검정(분산분석)은 모수 검정이라는 점을 확실히 해 둡니다.